信号系统_连续时间基本信号
连续时间基本信号
信号与系统课程涉及的连续时间基本信号主要包含：普通信号（连续时间复指数信号、采样信号），奇异信号（单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位冲激信号），常用信号（门信号、符号信号、三角信号）。
一、普通信号
（一）连续时间复指数信号
x
(
t
)
=
e
s
t
,
−
∞
<
t
<
∞
x(t) = e^{st}, \quad -\infty x(t)=est,−∞ （二）采样信号 S a ( t ) = s i n t t Sa(t) = {sint \over t} Sa(t)=tsint 后续学习主要会使用到的性质： e v e n . even. even. t = k π , S a ( t ) = 0 , ∣ k ∣ ≥ 1 t = k\pi,Sa(t) = 0,{\lvert k \rvert}\geq 1 t=kπ,Sa(t)=0,∣k∣≥1. l i m t → 0 S a ( t ) = 1 lim_{t\rightarrow0}Sa(t) = 1 limt→0Sa(t)=1. ∫ − ∞ ∞ S a ( t ) d t = π \Large{\int_{-\infty}^{\infty}Sa(t)dt = \pi} ∫−∞∞Sa(t)dt=π. 二、奇异信号 （一）单位阶跃信号 后续学习主要会使用到的性质： 1.单边特性： y ( t ) = x ( t ) u ( t ) y(t) = x(t)u(t) y(t)=x(t)u(t) 示意如图： 表示信号的作用区间： x ( t ) = ( 2 − t ) ( u ( t ) − u ( t − 2 ) ) x(t) = (2-t)(u(t)-u(t-2)) x(t)=(2−t)(u(t)−u(t−2)) （二）单位斜坡信号 存在和单位阶跃信号的微积分转化关系： d d t r ( t ) = u ( t ) ∫ − ∞ t u ( τ ) d τ = r ( t ) = t u ( t ) \begin{aligned} {d \over dt}r(t) &= u(t) \\ \int_{-\infty}^{t}u(\tau)d\tau &= r(t) = tu(t)\end{aligned} dtdr(t)∫−∞tu(τ)dτ=u(t)=r(t)=tu(t) （三）单位冲激信号 1.筛选特性，筛选出 t 0 t_0 t0： x ( t ) δ ( t − t 0 ) = x ( t 0 ) δ ( t − t 0 ) \begin{aligned}x(t)\delta(t - t_0) &= x(t_0)\delta(t-t_0)\end{aligned} x(t)δ(t−t0)=x(t0)δ(t−t0) 2. 取样特性，在积分限内就取得到 t 0 t_0 t0时的样： ∫ − ∞ ∞ x ( t ) δ ( t − t 0 ) d t = x ( t 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0) ∫−∞∞x(t)δ(t−t0)dt=x(t0) 3. 展缩特性，提取系数： δ ( a t + b ) = 1 a δ ( t + b a ) \delta(at+b) = {1\over a}\delta(t+{b \over a}) δ(at+b)=a1δ(t+ab) P S : PS: PS:由 a = − 1 , b = 0 ⟹ δ ( − t ) = δ ( t ) a = -1, b = 0\implies\delta(-t) = \delta(t) a=−1,b=0⟹δ(−t)=δ(t)， 偶函数。 4. 复合函数性质： δ [ s i n ( t ) ] = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( t − k π ) \delta[sin(t)] = \sum_{k = -\infty}^{\infty}\delta(t - k\pi) δ[sin(t)]=k=−∞∑∞δ(t−kπ) 若 x ( t ) = 0 x(t) = 0 x(t)=0有 n n n个互不相等的实根 t 1 , t 2 , ⋯ , t n t_1, t_2, \cdots, t_n t1,t2,⋯,tn，则： δ [ x ( t ) ] = ∑ i = 1 n 1 ∣ x ′ ( t i ) ∣ δ ( t − t i ) {\delta[x(t)] = \sum_{i = 1}^{n}{1 \over {\lvert x'(t_i) \rvert}}\delta(t-t_i)} δ[x(t)]=i=1∑n∣x′(ti)∣1δ(t−ti) 存在和单位阶跃信号的微积分转化关系： ∫ − ∞ t δ ( τ ) d τ = u ( t ) d d t u ( t ) = δ ( t ) \begin{aligned} \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau)d\tau= u(t)\\{d\over dt}u(t) = \delta(t) \end{aligned} ∫−∞tδ(τ)dτ=u(t)dtdu(t)=δ(t) 三、常用信号 （一）门信号 x ( t ) = ( 2 − t ) [ u ( t ) − u ( t − 2 ) ] x ( t ) = ( 2 − t ) G 2 ( t − 1 ) \begin{aligned} x(t)&=(2-t)[u(t) - u(t-2)]\\ x(t)&=(2-t)G_2(t-1)\end{aligned} x(t)x(t)=(2−t)[u(t)−u(t−2)]=(2−t)G2(t−1) G τ ( t ) G_\tau(t) Gτ(t)图像如下图所示，形似一道门。 （二）三角信号 Λ 2 τ ( t ) = { 1 − ∣ t ∣ τ ∣ t ∣ ≤ τ 0 ∣ t ∣ > τ \Lambda_{2\tau}(t)=\left\{\begin{aligned} 1-{{\lvert t\rvert}\over \tau}\quad &\lvert t\rvert \leq \tau \\ 0 \quad &\lvert t\rvert >\tau\end{aligned}\right. Λ2τ(t)=⎩ ⎨ ⎧1−τ∣t∣0∣t∣≤τ∣t∣>τ 三角信号的一种表示形式，今后会学习更为便利的表示方式，暂作了解即可。 （三）符号信号 工程意义很大的经典信号。 s g n ( t ) { 1 t > 0 − 1 t < 0 sgn(t)\left\{\begin{aligned} 1 \quad t>0 \\ -1 \quad t<0 \end{aligned}\right. sgn(t){1t>0−1t<0
